我在别家店买的饮料中奖了

您在别家店购买的饮料中奖后，商家拒绝兑换确实构成了侵权行为。根据《消费者权益保护法》的相关规定，消费者在购买、使用商品时，其合法权益受到损害的，有权依法要求赔偿。您有权要求商家履行兑换责任，若商家拒绝，您不仅可以向相关部门举报投诉，还可以依法要求商家承担因侵权行为给您造成的损失，包括可能的赔偿。法律依据为《消费者权益保护法》第七条、第十一条及第三十九条。
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若商家持续拒绝兑换中奖饮料，您可以通过以下途径维权：1.再次尝试与商家沟通，明确法律依据，强调其兑换责任；2.向当地工商行政管理部门举报商家的侵权行为；3.直接到消费者协会投诉，寻求专业帮助。这些途径均可有效促使商家履行兑换义务或获得相应赔偿。
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从法律角度，确保自己权益不受侵害的关键在于：1.保留好中奖凭证及购买凭证，作为维权的证据；2.了解并运用《消费者权益保护法》等相关法律法规，明确自身权益；3.积极通过沟通、举报、投诉等方式维权，必要时可寻求法律援助或提起诉讼。